Ответ на вчерашнюю задачку:
Кажется, что оба вопроса задачки одинаковые. Давайте разберемся с первой. Сколько вообще вариантов двух детей в семье? Четыре:
Старшая дочь, младший сын
Старшая дочь, младшая дочь
Старший сын, младший сын
Старший сын, младшая дочь
Мы знаем, что у Джонсов — старшая дочь. Поэтому остаются два варианта:
Старшая дочь, младший сын
Старшая дочь, младшая дочь
Поэтому вероятность, что у Джонсов оба ребенка — девочки, равна 50%.
У Смитов вариантов больше:
Старшая дочь, младший сын
Старшая дочь, младшая дочь
Старший сын, младшая дочь
Поэтому вероятность, что у Смитов оба ребенка — девочки равна 33%.
Но позвольте, может заметить кто-то. Всего вариантов из двух детей три:
Дочь, дочь
Дочь, сын
Сын, сын
А коль мы знаем, что как минимум один ребенок дочь, то остается два:
Дочь, дочь
Дочь, сын
И значит, что вероятность опять 50%. И это тоже правильный ответ, потому что описание задачи двусмысленное.
Смотрите комментарии для разъяснений.
Истинная вероятность имеет место тогда, когда мы можем взять некоторое количество элементов (чем больше, тем лучше) и посмотреть, сколько раз в них содержится искомый элемент.
В соответствии с условиями второй задачи мы должны выбрать семьи (и тут сюрприз), в которых есть *минимум* одна дочь. Соответственно, вероятность будет равна 1*0,5. Подход «сколько вообще может быть комбинаций» здесь не работает, т.к. выборка у нас не по всем семьям, а лишь по семьям с определенным условием. Иначе говоря, в ваших формулировках имеется плавная подмена предмета анализа.
И вы правы, Евгений, хотя и не в абсолютном смысле. Сам Мартин Гарднер позднее признал, что в задаче со Смитами есть двусмысленность.
Возможны две процедуры выборки:
1) Взять все семьи, у которых двое детей, одна из которых девочка. Если из этого списка взять случайным образом Смитов, то ответ: 1/3.
2) Взять случайную семью с двумя детьми, и если это оказались Смиты, то здесь вероятность равна 1/2.
Эта задача в недавнее время обсуждалась. Например: http://arxiv.org/pdf/1102.0173.pdf
… и тут я понял, где ошибся :).